be about to do は、about が、たとえば about 5 o’clock で、5時ごろというように、その対象の近辺のような意味ですから、He is about to go there. なら、「go there の近辺だ」と言うことで、そうやりかかっている、といういみになります。通常は、まだそのものの行為はやっていない状態です。
「もう少しで死ぬ所だった」は、手術中や病気で危うく命を落とすところだったという場合に使うのであれば、"I almost died "でしょうし、
エクストリームスポーツやハイキングなど自分が何かをしていて危ない目にあったという場合に使うのであれば、"I almost killed myself" という表現も使えると思います。