Engagement immigrantってなんですか？カナダ市民の人と一年一緒に住んでいて、同じ銀行口座を使っていれば出来ると聞いたのですが、詳しいこと知っている人教えてください。

それってcommon-lawの事じゃないですか？フィアンセビザって以前は呼ばれてました。カナダ市民の人と1年間以上一緒に住んでいて（恋人同士）ファイナンシャルベネフィットを持つって事をおっしゃられているので。他にも2人の関係を証明するもの（写真や友人からの手紙等）が必要です。 　

カナダはフィアンセビザありませんよね？婚約だけではファミリークラスの申請（またはトピさんのおっしゃるEngagement immigrant？）できませんよね？結婚式をしないことには、申請ができないと認識しているのですが・・・。 　

Res.1ｓんのおっしゃっているコモンロー･ビザなら結婚する必要ないと思いますが。
コモンローもファミリークラス申請の一つだったような…。
フィアンセビザと似ていると言えば似ていて、同棲期間や相手が自分を金銭的にサポートできるかどうかの証明などが必要で、結婚移民申請と同じく、相手がスポンサーとして合格することが条件です。
相手が異性でも同姓でもOKというのがコモンローの特徴ですね。