Yahooとhotmailのメールボックスの容量制限が超えてしまいメールを削除しないといけなくなりました。でも全部残しておきたいとおもってます。その場合、どこかに移動して保存しておくことができるのでしょうか。もしお分かりになるかたがいましたら教えてください。よろしくお願いします。

両方ともOutlook Expressで受信可能です。
Hotmailが普通のメーラーで受信できるかどうか私は知りません。多分できますが解説はしません。

Hotmailは、Outlook Expressで通常のメールアカウントのように設定すると自動的に処理してくれます。

Yahooの方は「オプション」→「POPアクセスと転送」→「ブラウザアクセスとPOPアクセス」を選んで終了を押します。
そうするとサーバー設定が表示される(一応共通とは思いますが確認してください)のでそれを使って同様に設定すればできるはずです。 　

補足：
Yahooの話はIE等ブラウザでYahooにログインした時の話です。その情報を使ってOEなり他のメーラーなりにアカウントを登録してください。