ある例文で、
He was surprised at the news which one of his old friends had become the president.
というのがあって、which　でなくて、thatが正しいとあったのですが、
何故だかわかりません。
今まで、whichとthatって同じように使ってきたのですが、whichが使えない、thatが使えない
の区別が今一わかりません。
どなたか教えてください。

He was surprised at the news that one of his old friends had become the president.
の場合、thatは関係代名詞ではないと思います。だから、whichでは置き換えられないのでは？違っていたらスミマセン。
　

本題と外れますが、元の文章、

He was surprised at the news which said that one of his old friends had become the president.

の方が、文法的にすっきりする気がするのは私だけ？ 　

おそらく、上記の例文は次のように成ってるとおもいます。
He was surprised at the news (which was)
that one of his friends had become the president.
この場合、He was,,,,, the news と　one ,,,, the president　両方ともIndependent clauseになるのでたんに　which , thatだけではつなぐ事はできません。
one,,,, president は the newsと同格なので
which was that, that was that などでつなぐ事ができます。このwhich, that は the newsを指しているのでプラス　be動詞で省略する事が出来ます。結果として、thatだけが残る事になります。付け加えると、このwasは他の過去形動詞に置き換える事は出来ますが、その場合which,that と会わせて省略する事は出来ません。最後になりましたが、kanaさんが聞かれている、which, that は関係代名詞として使われる時のことだと思います。この用法を完璧に説明する英語の力は私にはありません。
　

which, that を関係代名詞として使われる時で前の単語をより強調して説明するような場合はｗｈｉｃｈとどこかで読んだ気がするのは気のせい?!