知り合いの紹介でアメリカ人に英語を教えてもらう事になりました。
初めて会う前にお互いの都合の良い日はいつか？などとメールでやりとりをしていた時、私が○日はどうですか？と聞いたところ、「その日は都合が悪いけど、それ以降の日ならＯＫかもしれません。」と返事がきて、
In any case,I’ll definitely keep you updated.
と続きました。

これは、あなたの一番都合の良い日を覚えておきます。といった感じなのでしょうか？
どなたかアドバイスお願いします。

簡単に言えば「（私の）都合の良い日が決定したら連絡しますよ」という意味です。

直訳すれば、
「いずれにせよ、間違いなく、私は、あなたに、最新の情報を与えつづけます」
という感じ時でしょうか。