stick　with　は　〜を続ける、などそれをがんばって進めていくとか、貫くとかそんなニュアンスですか？
それとstick up　は辞書で調べると、突き出るとか突っ立つとなっていますが、今ひとつピンときません。心情表現をする時にも使うことはできますか？

http://www.alc.co.jp/index.html 英辞郎でstick with の用例がたくさんでてますよ。
私個人の体験は例えば今寿司屋で働いてるのですが、はじめに　お茶をお客さんに渡してその後オーダーをとった時に　「ビールか何か他に飲み物いりますか？」と聞いた時　’its ok i’m stick with green tea’と言う表現を聞きます。