she is avoiding a talking with me,but I can hunt her out in America.
この文章は完璧でしょうか？She is avoding (a) talking (with) me...この時aは必要ないですか？あとwithかtoかどちらが適してるか分からないです。
あと彼女をアメリカで探し出すことが出来るよ！はi can (be) hunt her out (in)　America.
この時はbe はいらないですか？あとinかonはどちらが正しいのか教えてください。細かい質問で本当ごめんなさい。

She is avoiding taliking with me, so I’ll find a girlfriend in America.　

Hunt outは長く使っていなかったもの探すとかの意味合いが強いと思うので不可じゃない？

んでtalking 動名詞にarticle（a や the）はいらない

butは肯定＿否定 明確な対立関係にないと不可！

　

英語に自信がない場合、書きたい日本語も併記したほうがいいですよ。

Res1さんは「彼女を探す」というのを、避けられてる彼女は放っといてアメリカで新しいガールフレンドを作る、というように解釈されていますよね。

でも、私には、その避けられている彼女をアメリカで探し出す、というように感じました。ただ、身を隠しているならともかく、話をするのを避けているレベルの人を、アメリカで探し出さなければならない（行方不明？）というのもおかしな話なので、Res1さんの解釈も理解できます。
どこに住んでいるのかわからないアメリカ在住の女性が最近チャットに出てこない、というような状況なら納得しますが。。。

また「探し出す」というのも、ゲームや、逃げている相手（犯人など）を追跡して捜し出すというような場合は hunt でもOKですが、これも内容がわからないと単語が選べません。