そうですね、レス5さん。check out もよく使われますね。sign out は昔ながらに紙にサイン(署名)をして借り出すことからきたテクノロジーに乗り遅れた言葉かもしれません(笑)でも現在でもしっかり使っています。私って古いのでしょうか(汗)
私は状況的に使い分けます。なぜならcheck out には sign out より広い意味があるからです。check out にはチェック(調査)する、本などを手続きして借り出す、スーパーで代金を払って出る、ホテルをチェックアウトするなど色んな意味があります。そんな取り合いをするような事はあまり言わないかもしれませんが。
図書館の貸し出しカウンターでなら、I want to check out this book. I want to sign out this book. は同義で一目瞭然です。
一方、一目瞭然でない状況もあります。人が図書館から借りようとしている本を見て、I want to check out that book. というと「私もよみたい(チェックしたい)」または「私も図書館からかりたい」と二つの意味があり不明瞭です。この場合 I want to sign out that book のうほうがクリアです。
なんだかダラダラと書きましたが、どちらでも同義で使えます。私の通うヨーク大学の図書館では今でも(?)sign out といっています。参照:
http://www.library.yorku.ca/ScottReference/faq.htm