日本語のアに相当する母音は、英語には4種類あります。
トピ主さんの質問の[a]はfatherに含まれている[a]でしょうか?(辞書によって、使われている記号が違うので、念のための確認です。)であれば、舌先を下の歯の裏に付け、そのまま舌先を一番下まで下げて下さい。次にそのまま一番後ろまで舌を引きます。この時に出る少しこもった音が[a]です。
[^]は、厳密には日本語のアとは異なりますが、ほぼ同じと考えて良いでしょう。
母音の発音は舌の位置が鍵となります。試しに舌先を下の歯の裏に付け、先ほどと同じようにそのまま一番下まで舌を下げます。この時に出る音がappleの[ae]の音です。この音を出したまま、アェーーーーーーーーみたいな感じで舌を後ろに引いていきます。音が変わりませんでしたか?変わったはずです。
発音の仕方はIPAのチャートを見れば一目瞭然です。
http://www.tutorpal.com/チャートについては、残念ながらとてもここでは説明しきれません。