Why you asked my friend my family name?
Why didn’t you ask me it?
どうして私の友達に私の名字を聞いたの？
どうして直接私に聞かないの？？ってやさしくいいたいのですがこれだと怖いですよね？？
誰か教えてください。

「どうして？」って聞くより・・・・・
You could just ask me my family name.
って言ってみるのは、どうですか？

または、You didn’t have to ask my friend my family name, you could just ask me.と明るく言ってみるとか。

この方法なら、普通相手は「だって、、」
という感じに抵抗なく、理由を話してくれるんじゃないかな？

いや、もっとストレートに聞きたい！と言うなら、ズバリWhy didn’t you ask ME my family name?と聞く。MEを強調してね。
ご参考までに・・・・