あなたの部屋にいってみたい！と言ってその人が家に来て何したい？と聞かれたときの返答ですが。

I wanna listen to music with you,and(i wanna) watch a video...とか言うときに再度(iwanna)を入れなくてもいいでしょうか？
教えてください。あとandはわざわざ必要ないですか？

I wanna 〜 は最初だけでＯＫ、何度も繰り返すのは不自然です。
and はいくつかのアイテムを並列する場合、最後のアイテムの前に１回だけ入れるのが正解だけど、話し言葉の場合、書く時ほどきっちりしてないのが普通だから（私達が日本語しゃべる時だってそうでしょう？）、〜 and 〜 and 〜 って何度か続けても、もちろん省略してもいいんじゃない？
それと、watch a video は watch videos って複数形にしたほうがいいと思います。