いつもお願いして、相手がＯＫ！とかいってくれるのですが、そこで話が終わってしまいます。
日本語でいう“お願いします”を英語で言いたいのですが、
よろしくを辞書で調べると、これに似合うのが
Ｉ leave that entirely to you.
でした。他に言い方はあるのでしょうか？
全く思いつきません。
“お願いします”“お願いね”の言い方を教えて下さい。

お願いします、という表現自体がそもそも英語の会話に馴染みません。
Ｉ leave that entirely to you.　と言ってしまうと、あなたに全部丸投げしますと言っているようなものです。それは変ですよね？
相手が自分のために何かしてくれるのであれば、thank you で充分です。