これからバンクのダウンタウンで仕事探しをするのですが、レジメと一緒にカバーレターも渡した方がいいのでしょうか？現在仕事している皆さんはどうされましたか？レジメだけでも大丈夫ですか？

人に直接手渡すのであれば、カバーレターは必要ありません。

Faxや郵送、E-mailは必要です。 　

自分はカバーレターもいっしょに出しています。でも↓の方がいっているようにそれでも
かまいませんが、印象が違ってくると思います。 　

雇用主になったと思って考えてみるのが良いかと思います。
単に履歴書だけを提出するのと、カバーレターをも一緒に提出するのと、どちらがその人を分りやすいか？

必修書類ではないけど、自分を売り込みたいのであればあった方が印象は良いですよね。
さらに、日本語と英語の両方で明記すると、ある程度、その人の英語力も理解出来るのと思います。

自分を売り込む為の書類は、ガンガン入れる事をお勧めします。