ＣＩＴＩＢＡＮＫに口座を持っているのですが、
アパートのＲＥＮＴをチェックで払いたいのと、
ハイドロや、ケーブル代などを
オンラインで支払いしたいと思い、
ＲＯＹＡＬＢＡＮＫに口座を作りました。

ＣＩＴＩＢＡＮＫに入っているお金を
全てＲＯＹＡＬＢＡＮＫに移動させたいのですが
どのようにしたらいいのかわかりません。。。
ＲＯＹＡＬＢＡＮＫの人の話では、
ＡＴＭから何回かに分けて引き出して
ＲＯＹＡＬＢＡＮＫの口座に入れるのは
手間もかかるし危険だと言われました。

何か良い方法があったら是非教えてください。

日本のシテイバンクに口座があるという条件で話ますと、まずシテイバンクに、海外送金を希望するバンク（トピ主さんの場合はロイヤルバンク）の事前届け出が必要です。
用紙はシテイバンクのWebから取り出してプリントして記入後、日本の自分の口座が有るシテイバンク支店に送付する。（Faxは可能か分かりませんのでTelで問い合わせてください）
手続きが終了次第、オンラインでも海外バンクに送金指示ができます。オンライン利用が出来なければTelで送金を申し出ると、希望どうりに送金してくれます。
以上の手続きには多少、日数が入りますが、家族の人がシテイバンクへ行って送金依頼をしたら早いと思います。但しカードを持参しなくてはいけませんし、もしかしたら口座を作った時にサインでしたら本人のサインがいるので無理ですが、印鑑で口座開設し印鑑が日本の家族が保管しているならOKでしょう。

何度もATMから引き出すと結構手数料が取られ（こちらのATM使用手数料）為替でも差が出てきます。
私は事前に海外送金バンクを数店届け出てきたのでなんら不自由なく送金してもらっています。但し、送金手数料を考えて小額送金は避けた方が良いと思います。
シテイバンクのWebで自分にはどれが適しているか研究してみてください。