コーリングカーードを使って日本にかけてみたのですが、番号通知１８６、１８４がないと繋がらなくなっていました。

たとえば、私の日本の電話番号が０９９−１１１−１１１１だとします。
そうすると、こちらからの国際電話は０１１−８１−９９１−１１−１１１１になるのですが、この１８６（１８４）はどこにはめてかけるのでしょうか。すみませんが、教えてください。

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この場合、１８６を付けてもダメで、相手側の「非通知受信拒否」設定を解除して貰うしかないと思います。なお１８４（イヤヨ）は非通知発信なので付けたらダメです。