私の彼氏が今、ＣＩＣに対し、Relativeを祖国から呼び寄せるために、family classで、スポンサーになれるかどうかを検討しています。

彼は以前、一緒に住んでいた彼女と喧嘩した際に、いきなり警察を呼ばれ、警察が家にまで来たという過去があります。警察は彼が何もしていないとわかるとそのまま帰って行ったようですが、その彼女は喧嘩の際に全て録音をしていて、彼が暴言を吐いた際などの録音テープも警察に提出したそうです。その後、その暴言に対し、彼は注意を受けたそうです。裁判になったり、刑務所に入ったりはしていません。

スポンサーになれるかどうかを検討する為、ＣＩＣのサイトを読み、Sponsoring an eligible relativeの箇所でどういう方がスポンサーになれないか７つの条件が書かれているのですが、If you were convicted of a violent criminal offence, any offence against a relative or any sexual offence—depending on circumstances such as the nature of the offence, how long ago it occurred, and whether a pardon was issued; とあります。

彼曰く、しばらく彼の名前は警察のリスト（何のリストなのか？）にあったというのですが、ＣＩＣのサイトではconvict、有罪判決まで受けないとNOT ELIGIBLEとは言えないのかとも読み取れます。

彼のように警察にテープを提出され通報された場合、スポンサーにはなれないのでしょうか？？どなたか教えていただけると幸いです。

CICの説明通り、裁判で有罪でなければ問題ありません。トピ主さんの場合は起訴すらされていませんので、全く問題ないですよ。それ以外に犯歴（有罪になった）ことがないか、しっかり確認した方がいいですね。