ファミリークラスで国内申請中です。万が一ですが、CICが指定した面接日に折り合いがつかない場合どうなるのでしょうか？面接日の変更は可能なのでしょうか？そして、申請自体が却下になることもありえるのでしょうか？

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面接のお知らせのレターに
指定された面接日が都合の悪い場合は電話連絡するようにと書いてあった気がしますので大丈夫だと思います。
断言はできないので、CICに電話する機会があったらついでに聞いてみてください。