ファミリークラスの申請の際に必要な無犯罪証明書は、旧姓でも大丈夫なのでしょうか？または、結婚後の姓で申請する必要がありますか？
知っている方が居られましたら、教えてください。

戸籍謄本に旧姓がありますよね。
旧姓の物を提出しなければならない理由は分かりませんが、再提出やそれが原因で申請のプロセスが遅れても構わないのであればそのまま提出すれば良いかと思いますよ。
ちなみにコロナの影響でプロセス遅れていると思います。