日本で扶養控除申告書を提出しなければいけないのですが、その場合夫の名前を源泉控除対象配偶者に書くべきかわからず困っています。

外国人(1年未満の短期滞在)でもちろん戸籍もなく、世帯主(私)のもとに保険証などは作っています。

夫は私の扶養家族になるのでしょうか？(年収は103万超えるか超えないか微妙なところです)

日本の税務署に聞かれた方が良いかと思います。

今の５月の時点で収入も微妙な見込みなら入れておけばいいと思います。収入が増えて扶養対象外になったなら年末調整か確定申告で入れなければいいので。ただ１年未満ということで滞在日数でなにかあるのかはわかりません。

前に給与関係の業務を担当していたので、参考までに。

確実な事は税務署に聞くのが1番だと思います。
配偶者控除に関しては、国籍等は関係なかったような記憶があります。しかし、近年、外国籍や国外居住者の扶養控除について、確認書類などが複雑になっています。
また、現時点で扶養に入れることは可能で年末調整時に外すことになった場合、年末調整で追徴になることがあります。
ちなみに年末調整に記載する情報は、その年の12月31日時点です。

ご自身で税務署に確認し職場に伝える際のアドバイスですが、職場の方も知らないかもしれないので税務署で担当してくれた職員の名前と部署を伝えて職場の人に再確認してもらったらいいと思います。

みなさまありがとうございました！

税務署に問い合わせたところ、1年未満の滞在は非住居者になるので扶養などは関係ありませんでした。