ちょっと詳しく調べたてみました。
JavaScriptはブラウザではなく、Acrobat Reader自体での設定ですね。
無効になっている場合は、フォームの一番上に以下の様に表示されたり、Adrobat Reader自体が警告を出すと思います。
JavaScript has been disabled, the form requires JavaScript to validate properly.
Please enable JavaScript through Preferences under the Edit menu and reopen the form.
表示されないのであればJavaScriptの問題では無いと思います。
また、Acrobat 9で適当に入力してValidateまでやってみましたが、ネットへの接続も無関係な様です。
(PC用のLinuxは10とか11とか無いので、古いバージョンです。同じLinuxの一つのAndroidは最新版までサポートされているんですが・・)
Validateが成功した時には
Validation Completed Successfully.
Please print...
って出てきますが、それは出てきていますか?
最後に一つ気になる点としては、この最新のフォームは2015年2月のリリースですが、Acrobat Reader DCのリリースが2015年4月です。
もっと言えば、プロパティのSubjectにある日付がフォームのScriptの修正変遷だと思いますが、これを見るとこのフォーム自体の最後の修正は2015年1月6日じゃ無いかと思われます。
Adobeの最新版のリリースに関する発表も3月下旬だったようなので、このフォームはAcrobat Reader DCでは動作確認がされていないと考えられます。
普通はアプリケーション側で下位互換になっているはずですが、正常に動かない場合もありますので、逆に最新版ではなく、確実に動作確認がされているReader 11(XI)に戻してみられてはどうですか?
Mac用の古いバージョンは以下からダウンロード出来ます。
http://www.adobe.com/support/downloads/product.jsp?platform=macintosh&product=10
あとは、フォーム自体が壊れていなければValidateのプロセスをさせるだけでOKだと思うので、ご自身のPCに保存されているファイルを別のPCで開いてValidateしてみるだけでバーコードが表示されるんじゃないかと思います。
このフォームは個人情報満載なので信用できる方の信用できるPCでやった方が良いとは思いますが・・・。
参考になれば。