スマートフォンを落としてしまい、液晶が壊れました。電源は入ります。着信もでき、通話も家老してできました。LINEなどの着信音もなります。液晶画面は光りますが、何も表示されません。グレー画面です。
チャージ用ケーブルでPCに接続しましたが、PCでは端末表示しません。接続したアラーム音？はなります。
Googleと同期していたと思うので、紛失で試したところ、ちゃんとGoogleでは電話にコールをかけてくれました。
取り出したい情報は画像と、テキストをしていた相手のアドレスです。何か良い方法がありましたら教えてください。

誤字入力してしまいました。
X　会話も家老して　→　O　会話もかろうじて

データはＳＩＭに保存されています、同じ機種の中古を手に入れるか、友人に貸してもらって取り出す。

パソコンにつなげられないかな？
スマホの方で操作が必要なら難しいかもしれないけど。

＞データはＳＩＭに保存されています、
電話番号はSIMに保存もできますが、一般的には自分で選ばない限りはSIMには保存されてません。
画像はそもそもSIMには保存されません。

端末にMicroSDとか外部メモリが入っているなら、画像はそこに保存されている可能性は高いです。
テキストしていた相手のアドレスというのは、SMSのテキスト＝電話番号という事なのか、LINEとかその他のメッセンジャー系のユーザー名なのか・・・で話が変わってきますね。
SMSのテキストなら、別の端末にSIMを入れていれば、その端末に相手からのテキストが届きます。名前は分かりませんけど、電話番号は表示されます。
LINEとかなら、パソコンからログインすれば大丈夫でしょうね。

PCに普通のチャージケーブルでつないだのですが、なぜかPCに認識されず、携帯がデバイスとして表示されません。そのため携帯の中身を確認できません。USBつないだときPCに接続音はするのですが。
何か特別な毛0ブルとか必要なのでしょうか？

取り出したいのは電話帳と画像です。LINEなどはGoogleメールで登録してあるので、別機種でもたぶん継続できると思います。

グーグルでは連絡先などは既定値でバックアップされていると思います。
したがって、新しい電話にすれば連絡先（登録してあれば）復元できると思います。

画像は設定次第ではバックアップされているかも知れませんが。
一度、グーグルドライブをパソコンから覗いてみてはどうでしょうか。

画面を修理すれば、どちらも取り出せるとは思いますが。
PCに認識されない理由は、アンドロイドにログインしていないからでしょう。
そうでないと、スマホ拾った人が幾らでもデータ抜けることになりますよね。

アンドロイドにログインする、ということはどういうことでしょうか。
外部操作で可能でしょうか？