インタネットにうまく接続できている時は、いつも　Access:　Local and Internet　と出るのですが、うまく接続できていない時は、Local だけとしかでません。

この意味は、どういう意味でしょうか。
たとえば、Localだけの表示の時は、もしかしたら、ケーブルなら繋がるということでしょうか。
Wifi を使っています。

ローカルとはルーターがつながっているＰＣのみ
インターネットにつなげるにはプロバイダーのＤＮＳサーバーにつながらないとインターネットには接続できない。
問題解決はルーターの持ち主に聞いてみましょう、アクセスをコントロールしているかもしれない。