今持っている携帯電話(iPhone)が調子悪くなってきたので買い替えを検討しています。
希望は日本語でもテキスト出来てアプリもダウンロード出来るほうがいいです。となるとスマホしかないですか?
また日本やアメリカなど海外に行っても通話料金が高額にならずに使えるようであれば一番いいですが、日本滞在中は皆さん携帯電話どうしていますか？(SIMカードを入れ替えるか、ポケットWifi使用するなど？)

皆さんが使われている携帯電話でオススメがありましたら教えてください。

誰も興味ないかもしれませんが、ご存知の方いたら引き続き情報お願いします。
日本では最近ソフトバンクでもSIMフリーにできるようになったとネットにありました、SIMフリーであれば電話機をそのままにキャリアーを変えれるということは、こっちでもiphone6をAppleで買うと使用できるのでしょうか?

興味ないというよりは、質問されている内容が非常に大きい範囲なので答えにくいんだと思います。
周波数の問題やロック、APNの問題もあるので、結構な量の知識と試行錯誤が必要になります。
本体の仕様がはっきり公開されていなかったりハードウェアバージョンによって変わることもあるので、理解したうえで試してもダメなこともありますし。

もうちょっと、「今◯◯の携帯を持っていて、××国で安く使うにはどうすればよいか」的に絞ってくださると答えやすいです。

わたしは決して、携帯電話に詳しくはないですが。

＞日本語でもテキスト出来て

スマホなら大丈夫じゃないかと思います。言語設定とかできるかと思います。
iPhoneなら世界共通だと思います。Androidもそれに近いとは思うけれど。
（法的な話をすると日本で使う場合には技適マークが。。。とか、ググッてください）

＞アプリもダウンロード出来るほうがいいです。

アプリというなら、スマホじゃないでしょうか。昔ながらの携帯電話でアプリはないような気が。

＞アメリカなど海外に行っても通話料金が高額にならず

アメリカならカナダのプランでもいろいろとあると思いますが、頻繁にアメリカに行かないなら無駄な気がします。
ググるとこんなのも出てきます。
https://www.roammobility.com/

＞こっちでもiphone6をAppleで買うと使用できるのでしょうか?

こちらでスマホ（あるいは携帯電話）を買って、日本、アメリカでSIM（プラン）を購入すれば使えると思います。
ただし、そのスマホで使える周波数帯とSIM（キャリア）が提供している周波数帯が一致すること、
SIMの大きさが一致していること、などが必要と思います。

別の方法としては。。。

アメリカでも日本でもWifiが使える場所なら、スカイプ、Lineなどが使えるので、電話代わりになると思います。
どこでも、自由にWifiが使いたいなら、モバイルルーターなどをレンタルすることになります。
日本だったら、空港受け渡しみたいなサービスもあると思いますよ。