外付けのHDDを持っています。USBの接続部分が悪くなってようで、ときどきつないでも電源ははいっていてもPCが反応しません。こわいので中のデータは他に移したのですが、HDDそのものは大丈夫だと思うので、できれば、ケースを買ってHDDを移し替えたいのですが、そのようなことはできるでしょうか。

もし出来るとしたら、どなたかやってくださる方はおられますか？ケーズは20〜30数十ドルくらいのようですが、
どのくらいの謝礼が必要になりますか？HDDは2台あって、それぞれ1TBで、できればひとつにまとめたいです。

複数のドライブを入れるならネットストーレージがいい、ウエスタンディジタルで２個、最大で４個まで入るものを売っています。
ＵＳＢストーレージよりも少し高いですがＬＡＮで使用するにはこれが一番。

電源が入るからHDDが大丈夫とも限らないのがPCの世界なので(と言ってもデータを移せたのであればHDDはOKでしょうが)、プロとしてやっているお店に持ち込む事をおすすめします。
NCIXとかに持っていって、ケースの種類とか症状を相談の上、HDDが正常ならケースなりNASなりを買う前提でやってもらえば良いんじゃないでしょうか？ ここで頼むより多少高くはなるでしょうが、何かあった時のサポートが付いたりするかもしれませんし。
ちなみに、今の外付けHDDを分解してHDDを取り出せるのであれば、USB接続用のケースさえあればプラモデルよりも簡単な作業です。
ただ安物のケースはHDDが中で動く事が多いのと、冷却を考えられていない場合がある(HDDは温度管理が重要です)のであまりおすすめはしません。

既にRes1さんがNASを提案されていますが、NASでRAID1を組むとHDD2個でHDD一つ分の容量しか使えないので(今回の場合1TBのHDD2個で1TBの容量)、そのあたりは検討された方が良いでしょうね。でも、仮にHDD1個がダメになってももう一つのHDDにまったく同じコピーが残っているのでデータを失わないための手段としてはおすすめです。
RAID0にして1TBのHDD2台で2TBの容量を確保する方法もありますが、片方のHDDがダメになると全部のデータがダメになりますので、データ保存用としてはおすすめしません。
あと、NASはデータへのアクセス方法とか読み書きの速度がUSB接続の物とは違うのでそこも事前に調べられた方が良いと思います。こういったアドバイスもPC屋で受けられると思いますので、余計にPC屋に持ち込むことをおすすめします。

できる人がいれば良いわけで、わたしが何か書くのは不必要かもしれませんが。

市販の外付けHDDを分解して中身のドライブを取り出すには、経験と技術が必要だと思います。
それも、各社、モデルで、ドライブの造り方による部分も大きいかなと思います。
この辺りにやり方は書いてありますが、誰でもできるってことはないと思います。
http://www5a.biglobe.ne.jp/~k-wave/HDDBunkaiyarou/

おそらく、HDD本体のコネクタ部分が悪くなっているのがわかるという意味だと思いますが、
もしそうでなければ、ケーブルとか、パソコン本体側も疑ってみてください。

ケースを買って、作業をお願いすると、＄１００くらいにはなるかと思うのですが、
＄１００あれば、２TBの外付けHDDが新しく買える値段かなと思ったりもします。
それに、HDD二台収納可能な筐体って、一般的かな？見たことないですが。