たぶんマックアドレスで接続を制限してるんじゃないかな?
マックアドレスというのは、パソコン(正確にはネット接続するためのネットワークカード)ごとに割り振ってある、世界で1つしかない番号です。インターネットに接続すると、自動的にパソコンのマックアドレスがプロバイダ側に登録されます。
プロバイダ側はセキュリティのために、登録してあるマックアドレスを常にチェックしていて、別のパソコンに繋ぎかえると、マックアドレスが変わるため、接続できなくなってしまいます。
ルーターを使っている場合と使っていない場合では解決方法が異なるのですが、今回は使っていないということなので、プロバイダに連絡して、2つのパソコンのマックアドレスを両方使えるように登録情報を設定してもらってください。
パソコンのマックアドレスを調べるには、Windowsを使っているなら、Googleで検索して調べてください(例えば
http://www.law.osaka-u.ac.jp/legal-inf-room/mac/ など)。OSの種類によって調べ方は変わるので、それだけ注意してください。
うまくいくといいですね。頑張ってください。