Mac初心者でインターネットの接続方法がわからず質問を投稿いたしました。
（質問のはもう一台あるWindowsのほうで投稿しています

ケーブルを差し込んだ状態で、
システム環境設定からネットワークを開いて
Ethernetの状態が接続になっており、
「自己割り当てのIPアドレスが設定されており、
インターネットに接続できない可能性があります」
というメッセージがでているところまでは確認できました。

この先の他の設定などをどうしていいのかわからず止まっています。
こちら側の情報等、足りないところあるかと思いますが、
一旦ご質問させていただきます。よろしくお願いたします。

自己割り当てのIPアドレスでは接続できません。
ケーブルを接続しなおしてみたり、「詳細」ボタンを押して「TCP/IP」で「DHCPリースを更新」したりしてみてください。