なにか作業などが終わった時など、
finish ではなく done を使うものですか？

この間、ルームメイトに頼まれていた皿洗いを、
「あなたが帰ってくる前にとっくに終わらせたよ」と
言いたかったのですが、私の言い方がまずかったのか
「たった今急いで終わらせました」みたいな感じに
なってしまったようで…。

finish と done の使い方の違いを教えてください。

FINSHED も DONEもどっちも間違っていないと思います。
例えば：
I finished long before you came home.
I was done long before you came home.
どっちも同じ感じの意味です。

言い方によってくると思いますよ。
ただDONEはどうしても、終わっていた、というニュアンスになります。
FINISHEDは終わった、というだけです。 　

doneは have/hasを同時に使う場合が多い 　

「もう疲れた。。」とか言って終わりっていうときに「I’m done」っていいますね。 　

↑の例で言えば、I’m finished. って言ったら「おれはもうおしまいだ・・・」と絶望感が感じられますね。　

基本的にfinish でも done でも同じような意味だと思うのですが、文章によってはニュアンスが違ってくるのではないでしょうか。　あと、doneには「終わった」というニュアンスがあるのに比べ、finished には「完成した」というニュアンスがあると思います。

例えば、
The homework is done. 宿題は終わりました。
The sculpture is finished. 彫刻は完成しました。 　

私にとっては、done は「やり終えた」というイメージ、finished は単に「終った」というイメージがあります。

「やり終えた」というのは、done が do の過去分詞だということからもわかると思います。対して finished の方は、やり終えるものにも使えますが、やり終えるものではなく単に終わりがあるものについても使えます。たとえば、this movie is finished. となると、映画を見てる人が「この映画は終ったよ」という意味になりますが、同じ意味で this movie is done とは言わないと思います。言うとすれば、映画を作ってる人がその作業をやり終えたというような場合には使えると思います。