中学レベルではこの違いについて教えてもらわなかったと思いますが実際のところ、この違いというのはあるのでしょうか？

また、couldとwas/were able toの違いもありますか？

canはほとんどの場合で、be able toに置き換えることが出来ます。
canが使えない例は、
I will be able to〜のように、will,would,could,shouldなんかの後に来る場合です。
　

differences of could/ was(were) able to are,,,

*You could go to Canada (it’s possible that you go to Canada)
*You were albe to go to Canad (you went to Canada somehow. you made it!)

so, it’s much easier to use BE ABLE TO in the past tence than use COULD.
Sometimes COULD can be used in the past tence, but I don’t want to explain that unless you really want to know about it.

By the way, there isn’t much difference between can/ be able to.
But, it probably sounds a little bit more formal if you use BE ABLE TO.

Good luck. 　

canとbe able toは同じではありません。canは”可能性”を表し、be able toは”能力”を表します。

詳しくは下のリンクに載っています。長いですが、非常に良い説明なので一通り読むことをオススメします。

http://curb.hp.infoseek.co.jp/aG/files/can.htm 　

can と be able to　にきっと違いがあるのはわかりますが、どの程度重要なのか疑問に思います。
使い分けれなくても意味が通じないことは絶対にないと思います。
よほどの上級者でない限り、それを使いこなすのは難関だと思います（特に会話のなかで） 　

RES4さんに同感。
ここは"英語を話したい"人のトピなので、話してて意味が通じればOKということで。　論文を書いたりするのなら別ですが。
日本語だって正しい書き方してる人なんてほとんどいませんよね？ 　

ＲＥＳ２はちょっと説明が違うのでは？
You could go to Canada.は「行けるけど行かない」場合にも使われる。つまり、couldは仮定法と解釈される可能性があるため、実際起こったことを説明するためにはbe able toを使った法がよいということでは？
それにしてもトピ主の質問は現在形のcanとbe able toの違いなのでもともとがずれている・・・ 　

＞どの程度重要なのか疑問に思います。

それはcanとbe able toの違いをはっきりとわかった上で言っているのですか？レスからはわかっていないように取れるのですが。

＞使い分けれなくても意味が通じないことは絶対にないと思います。

サバイバル英語習得を目指すのなら、こう言っておけば良いでしょうね。

＞よほどの上級者でない限り、それを使いこなすのは難関だと思います

上級者を目指すなら、違いをはっきりと理解しましょう。

何事も向上心が大切です。妥協すると、それ以上英語力は伸びません。 　

ガチガチの固い頭で理屈にこだわる人ほど、英語（に限らずどの語学でも）は伸びないよー。語法を正しく使い分ける能力はもちろん大事だが、あまりに「正しさ」にばかり固執すると、柔軟な応用力のなさにつながる。例えばあなたの勤める会社の社長や直属の上司或いは通う大学の教授等が「間違った」使い方をしていたとする。いちいちそれを細かく指摘して揚げ足を取りますか？上級者を目指すなら使い分けを認識した上で時にはルール破りも許容できないと。 　

res６ってばか・・・ 　

Res8に激しく同意します。
日本人は文法を重視し、気にしすぎるあまり、ゆっくり
話しすぎて英語にリズムがなくてかえって通じなかったりします。
中国人を見ていると文法的には？でも、とにかく積極的にしゃべり
まくるから、割と覚えるのが早いような気がします。
僕も仕事上で文章を書くときには文法や単語の用法にかなり気を
配りますが、会話の場合はあまりナーバスにならないで通じれば
いいという感じで話します。
僕の教材はＴＶや映画で気の利いたセリフや言い回しはすぐに
メモして使うようにしていますが、なかには文法的には？という
のもよくありますよ。でも、それが生きた言葉なんだと思います。
　

参考書に
(be) able to is possible instead of can, but can is more usualとあります。
しかしcouldとwas/were able toの肯定文ではちょっと使い方が違います。
couldは一般的な能力を表す時に使いますが、was/were able toは特別な能力を表す時に使います。
例えば
Jack was an excellent tennis player. He could beat anybody.
Jack and Ted played tennis yesterday. Ted played very well, but in the end Jack was able to beat him.
とこんな感じです。 　

ＲＥＳ９、ちゃんと議論しろ。 　

ＲＥＳ８さん、

＞ガチガチの固い頭で理屈にこだわる人ほど、英語（に限らずどの語学でも）は伸びないよー。語法を正しく使い分ける能力はもちろん大事だが、あまりに「正しさ」にばかり固執すると、柔軟な応用力のなさにつながる。例えばあなたの勤める会社の社長や直属の上司或いは通う大学の教授等が「間違った」使い方をしていたとする。いちいちそれを細かく指摘して揚げ足を取りますか？

揚げ足を取ることが応用のなさですか？相手に誤解が生じる可能性があるのであれば私なら指摘します。

＞上級者を目指すなら使い分けを認識した上で時にはルール破りも許容できないと。

だから今使い分けを認識するために議論しているのでは？知ってルール破りを許容するのと知らないでするのでは大きな違いがあると思いますが。

会話ではあまり神経質にはなりませんが、正式な文章を書くときには正しさも重要だと思います。 　

違いについてではありませんが、be able toは、
should be able to
must be able to
should’ve been able to
とかにも使えます。

Canだと無理じゃないでしょうか。 　

ごめんなさい、Res1さんが既に投稿されてましたね。 　

英会話の先生が私達がよく、canやcould ですましているところに違和感を感じているらしいです。ニュアンスを知って使い分けをし、会話を楽しむところに英語を学ぶ楽しさもあるのではないでしょうか。res２さんの説明めちゃくちゃ解り易いです。私もこの違い気になっていたから何かひとつ壁を突き破ったすっきりした気持ちです。res３さん、情報有り難うございます。トビ主さん、問題提起有り難うございます。そして、これからも現状に満足せず進んでいきましょうね。