I have a fear I’ll run out of room very quickly if I rent out rooms.

自分の（空き）部屋を貸しだしたら、部屋から荷が出すかもしれない？

空いてる部屋を誰かに貸したら？と言ったら返事が来ました。

部屋を貸し出したら、すぐに部屋が足りなくなるだろうから、ちょっと不安だな。って言ってるんじゃない？ 　

run out of room の　room は　スペース　という意味で、
if I rent out rooms の　room は　部屋　という意味です。　ので　部屋は今空いているけれど、部屋を貸し出したとたんに（自分の荷物をおく）スペースが足りなくなっちゃうようなことになるんじゃないかって心配なんだよ。　

ということだと思います。