give me a hint!
give me a clue!

とどちらでも使えると思うのですが、違いはありますか？

友人に聞かれてから、ずっと気になっています。

手持ちの辞書によると
A hint is a suggestion about something that is made in an indirect way. / A hint is a helpful peice fo advice, ususally about how to do something.
A clue to a problem or mystery is something that helps you to find the answer to it. / A clue is an object or piece of informatin that helps the police or a detective to solve a crime.
とあります。よく似ていますがhintの方が間接的な意味合いが強くclueは解決の糸口としてのはっきりした手がかりとなるもの、ぐらいのニュアンスの違いでしょうか。

私個人の感覚ですが、Give me a hint!は使うけど Give me a clue！は使わないです。 I haven’t a clue (I don’t have a clue)は使います。正しいかどうかはわからないけど、Give me a hint!という時には「何かほのめかすものでもいいから答えをちょっと想像できそうなものを直接的な言葉でなくてもいいから教えて欲しい。」という気持が裏にあると思います。 　

同じですよ。　辞書持っていますよね？