let you knowや、let me seeやletの使い方はさまざまだと思うのですが、いまいち理解できません。
おしえてください！

『let + 人 + 動詞の原形＝人 に 動詞の原形　させる』

* let you know = あなたに知る事をさせる→あなたに知らせる→あなたに教える

* let me see = わたしに見る事をさせる→私に見せる（→会話等のながれでこれが「考えさせて」「えっとね」となる）



使役の意味です。
　

Res1さんに補足です。

let は使役で、日本語にすると「〜させる」になりますが、日本語にすると似てしまうのが、使役の make です。

make の「〜させる」は、無理やり、やらせるイメージ。

let の「〜させる」は、自然に出てきたことを許可するイメージ（邪魔せず自然にさせるておく）。

たとえば、Let me help you. という表現を良くきくと思いますが、これは「私に手伝わせてください」という表現になります。

同じように、I’ll let you know. というのは、あなたに教えるよ、という意味ですが、let を使うことによって、あなたが知ることを（妨げたり隠しだてしたりすことなく）伝わるようにする、というような感じがどことなくある言い方です。

もしこれが、I’ll make you know. (こういう言い方はあまりしませんが、あくまで対比例とて)となると、知りたくないのに無理やり判らせてやる、みたいな暴力的な感じになります。

日本人にもっとも馴染みの深い let の使われ方は「Let’s go」のような使い方でしょう。

Let’s go = Let us go. これも真髄は同じです。

直訳すると「私たちを行かせよ」→「さぁ行こう」となるのですが、この let があることで、自分たちに「行きたい」というような飛び出したいような気持ちがあって、をの気持ちを let（〜させる）ことによって、行きたい気持ちを遮らない、思うまま行かせよう、というニュアンスになります。

Let us go は、行きたくてウズウズしてる自分たちが飛び出すイメージ、もしこれが Make us go (もちろん単文でこういう使われ方はしませんが、対比として)だと、イヤがる自分たちを引きずって行かされてるイメージになります。

他にも、よく耳にする言い回しとしては、

Let me introduce myself. 自己紹介させてください（自己紹介するということを許してください）

Let me do it. やらせてください。

Let people think whatever they want. 何とでも思わせておけ（人が考えることを遮らず、思うがままにさせておきなさい）