例えば、アイスクリーム屋等で、試食したいときはどのように言えば良いのでしょうか？
“Can I try ***???”ですか？
あとコーヒー屋等で、「〜下さい。」と言う時は、Get とhaveどちら使うほうが自然でしょうか？どちらも大差ないとは思いますが。

サンプルを試したいときは、おっしゃるとおり"Can I try...?"でOKです。"Could I try...?もたまには試してみましょう。
コーヒーショップなどでは、"Can I have...?"のほうが聞こえがいいです。Getはちょっとだけえらそうとうか、店員さんに対してもBe niceでありたければ、Haveのほうがいいです。女性なら特に、そのほうが耳障りがいいでしょう。男性はけっこうGetを使いますが。
"Can I have...?"　" Could I have...?"　" I’ll have..."ですね。 　

人差し指を口に入れて、物欲しそうにみつめる・・・
無言でOK 　

Can I〜？ より May I〜？の方が丁寧ですよ。 　

Shishoku shitai tokiwa, as Res 3(?) wrote down, "May I try" is more polite but you can use "Can I try.... please?" is ok too.

You can either say May I have or Can I get
, but using May I have is more polite.
that’s all.
it’s like saying, ...kudasai vs ... itadakemasuka
they’re both right but one is more polite than the other.