Why don’t you ってくるとよく分からないのですが。。。
Why don’t you like him?（何で彼が好きなの？）でいいのですか？
Why do you like him?との違いが分かりません。。。
Don’t you like him?とDo you like him?の違いも分かりません。
どなたか分かりやすく説明してください。ペコ！

そもそもWhy don’t youって…「〜したら？」っていう提案の意味で使いことが多いのですが
Why don’t you like himっていう例文になると
それはそのまま直訳して「何で彼が好きじゃないの？」ってことなのでは？『彼を好きになれば？』って何かヘンですし…
Don’t you〜を Do youは否定の形で聞くか肯定の形で聞くかっていうだけの同じ質問になります。
回答（Yes/No）は、どちらの形に対しても同じ答えになりますね。 　

Why don’t you〜はまさに、「〜したら？」っていう”提案”です。
なので、Why don’t you like him？の例文はちょっと変。。。
でも友達とお互いにからかいあってて、「じゃああんたが彼を好きになれば〜？」みたいな感じだったらありえるかも。でも変。

Why don’t you go?　とかで、「行ったら？」とかいう風に使うのが普通ですよ。

それから、Don’t you like him?とDo you like him?の違いについてはRes.1さんも回答されてますが、同じ内容の質問です。
日本語にすると「彼を好きじゃないの？」と「彼を好き？」になるでしょう。 　

すごい質問だな・・・確かに簡単な文章がとっさに理解できない瞬間ってのはあるが・・・

「why do 〜？」 と「why don’t 〜？」 は直接訳すと「どうして〜なの？」と「どうして〜じゃないの？」だよねぇ。直訳がおかしなニュアンスになることもあるがこの場合は他に訳しようがないわけで、つまり

「どうして〜なの？」と「どうして〜じゃないの？」

という二つの日本語の意味および違いがわからないってことかな？いくらなんでも日本人ならそれはないよなぁ・・・難しく考えてるだけなのでは？

それとも回答の仕方がわからないって事？だとすると１の人が言うとおりどちらの質問に対しても答えが同じになるから、というか否定文での質問に対する答え方が日本語と真逆になるから、ここは混乱するところだよね。たしかに。

　

Why don’t you〜
は誘い文句にもなる。
Why don’t you＝Let’s〜

Nativeは大体この意味で使いますよ〜。 　

誘い文句（Let’s）だったら
Why don’t you じゃなくて
Why don’t weじゃないの？ 　

Why don’t you は助言であり直訳の「どうして〜しない」の逆説で「〜してはいかがですか？」という意味になります。
Why don’t we は提案で「〜しましょうか？」となります。勧誘というより提案なので勧誘したい場合はWould you likeを使うといいですよ。
英語は逆説的な意味や二重否定が多いので混乱しますよね。。