１０ヶ月の知人の赤ちゃんが家に遊びに来てたときの事。
なぜか私と目が合うと違う方向に行ってしまうんです。それを英語で言いたくて・・・
He ran away when I cought his eye??
or
I cought his eye and run away??

He turned away from me when our eyes met.

catch 〜’s eye は、〜の注目をあつめる、注意をひく、という意味です。
二つ目の文章では、逃げたのがあなたということになります。 　

he kept avoiding making an eye contact. 　

catch someone’s eyeで目が合うという意味もあるので、トピ主さんの一つ目の文でもいいと思います。ただ、「目が合ったら逃げられた」という一回きりのことじゃなくて、「目が合うと逃げてしまう」と一般的なことを言いたいなら、

He always ran away when(whenever) I caught his eye.　のようにした方がいいと思います。

レス２さんの文の場合は、最後にwith meを入れたほうがいいかも。 　

レス２さんのは、目が合わないようにするという訳になってしまいますよね。実際は、目が合うと逃げてしまうわけだから、ちょっと意味が変わってしまう気がします。
　

レス３さん、catch someone’s eye は、目が合うという意味には使われないですよ。 You still catch my eye. （いまだにあなたに目を奪われる）などのように使います。　catch the eyes of someone の形なら目が合うという意味になりますが。 　

Res.5さんが正しい。
catch someone’s eye は、目が合うという意味には使われないですよ。 　

これはどうでしょうか？
He turns around when he makes an eye contact with me. 　

catch someone’s eyeも目が合うって意味で使えるみたいだけど。。。

http://www2.alc.co.jp/ejr/index.php?word_in=%96%DA%82%AA%8D%87%82%A4&word_in2=%82%A0%82%A2%82%A4%82%A6%82%A8&word_in3=PVawEWi72JXCKoa0Je 　

↑Japanese English 　

じゃ、あんた書いたら？