Res7さんの2と3についてですが、take care of my children は、ベビーシッターとかの実際に手のかかる子供の世話を頼んでいる時には使えますが、日本語では「お世話になります」は社交辞令として成人した人間についても使いますので(「主人がいつもお世話になっています」と言うなど)その場合は take care of を使うと少し変な印象になります。初対面の相手に、社交辞令としての意味を持たせるのであれば、I'm glad that we finally meet. I've heard so much about you. みたいな常套句もありますね(実際にそうでなくても)。Thank you for being a wonderful host mother. My daughter is lucky to have you.とか。
お世話になりありがとうございます、は Res7さんの Thank you for everything. が一番何にでも使えると思いますが、可能であれば理由を述べたほうが良いイメージになることが多いので、 臨機応変にしたらいいと思います。日本語では、特に世話をしてなくても「お世話になりました」という言葉を使うので、臨機応変といっても結構難しいですが。
子どもの場合は、どなたかが言われている clinging とかもオッケーと思います。とにかくママにつきまとうイメージですね。He is always trying to get my attention. とかもママの気を引きたいイメージが出ますね。甘やかされるという場合で、ちょっといいイメージの言葉を使いたければ loved ですかね。He is loved too much. つまり溺愛されてるイメージです。