生まれて4ヶ月の子供がいます。

こちらでは車に乗るときはカーシートの着用が義務付けられていますよね？

ベビーカーでの乗車ではなく、抱っこ紐でバスに乗りたいのですが、それは可能でしょうか？

可能ですよ。
むしろ、ベビーカーだといやがられる場合もあるみたいですよ。（一度ニュースでベビーカーを乗車拒否したバスの運転手の話題がでてました。それ一件の話かもしれませんけどね。） 　

抱っこ紐でタクシーには乗車できるのでしょうか？ 　

できますよ。タクシーに乗る場合はカーシートは義務じゃないです。