カナダでは日本のように、生まれてから２週間以内に、名前の提出をしなければいけない規定があるのですか。
または、カナダで出産しても日本の領事館へ２週間以内に、出生届を出さなければならないのでしょうか。

3ヶ月以内です

生まれる前に日本領事館で、出生届のための書類一式をそろえておくほうが良いですよ

婚姻届などは3ヶ月過ぎても受け付けてもらえますが、出生届けは、3ヶ月以内に届けないと日本国籍の保留が出来ません
　

私の州では病院を退院する前に、子供の名前の届出書類を書かされました。
書かないと退院できません。
他の州もたぶん同じだと思うんだけど・・・。 　

日本の出生届に記載する子供の名前なのですが、
ミドルネームを日本名にする場合、例えば　
『スミス（Last name）ジョン（First name）春樹（middle name）』
という風に書くのが正しいと口伝えに聞いたのですがそれで合ってますでしょうか？ 　

書き方はそれで宜しいかと思います。
が、日本にはミドルネームシステムが無いので、戸籍には子供の名前は
「スミス　ジョン春樹」
とミドルとファーストネームが繋げられちゃうと思います。
私は繋げられちゃうのが嫌だったので、日本の出生届には「山田　春樹（苗字は旧姓のままなので）」こっちでは「Smith　John　haruki」で登録しております。 　

Res3です。Res4の方、ご回答ありがとうございます。
なるほど、戸籍には繋げられて記載されるのですね。
友人が子供の日本名（彼女の元々の日本の苗字とミドルネーム）だけで日本の出生届に記載して、こちらでは英語名だけで登録（旦那さんの苗字）している為に日本のパスポートとカナダのパスポートが全く違う名前になってしまって問題だ、と言ってるのを聞いてややこしいなぁと思っていたのです。もうすぐ出産で必要になるのでよく考えます。参考になりました！
　

BC州では、３０日以内に出生届けを提出し、さらに日本国籍をとるためには３ヶ月以内に日本領事館に提出します。
もし、日本領事館に提出するのであれば、前もって書類を送ってもらうとよいですよ。　でも、３ヶ月過ぎたとしても、日本人の親をもつ子供であれば、何れ長期で日本に行きたいと思った時に長期ビザなどを簡単にもらえるそうです。日本国籍をとりたいと思えば他の外国人よりは楽にとれるのではないでしょうか？
こちらの、Record of Birthも、ヴィクトリアのVital Statisticsに郵送してもよいし、もし急ぐようであれば、バンクーバーのオフィスに行けばその場でBirth　Certificateをプリントしてもらえるそうです。