現在６ヶ月の赤ちゃんがいるのですが、
バーナビーで、赤ちゃん達が遊べる支援センターみたいなところはありますか？

コミュニティセンターにプレイタイムか、図書館。エキスポラインに近ければサイエンスワールドの年パス買って、赤ちゃん用のエリアで遊ばせられますよ。

バーナビーではないんですが、隣町のNewWestminsterにFamilyPlace(無料)というコミュニティセンターがあります。

93 Sixth Street Unit 101
New Westminster,  BC V3L 2Z8

月曜日〜金曜日、午前と午後の部があって、NewWestminsterに住んでいる方だけでなく、バーナビーやコキットラムから遊びに来ている方をよく見かけます。
Facebookで月毎のカレンダーをチェックすることが出来るので(たまにイベントも行ってます)、New Westminster Family Placeで検索して見てください。

子供が23人前後になると定員に達し入れないこともあるので、早めに行くことをオススメします!

小学校によってはストロングスタートというプログラムがあって、就学前の子供たちが参加できる時間帯がありますよ。一度近所の子を連れていったことがありますが、赤ちゃんもいました。近所の小学校のウエブサイトを調べてみたらいいかもしれません。