築半世紀以上の古いアパートでカーペットの部屋を借りています。
掃除をいくらしても古臭い匂いは取れません。備え付けの棚からもほんのり匂います。
カーペットも週に何度か掃除機を掛けますが、そのほかに何か対策があれば教えてください。また、何かいいクリーニングプロダクトや芳香剤がありましたら情報宜しくお願いします。

それはどうにもできないような気がします。新しいカーペットに換えるのは難しいでしょうから、
違うアパートに引っ越す以外解決策はないように思います。

大家さんに交渉してみては？ 私は賃貸している家のカーペットをフローリングに交換をして貰ったことがあります。
費用の半分を負担することで大家のOKをもらいました。

掃除機をかける前にカーペットに振りかけるパウダーは使ってみましたか？後は念入りにカーペットクリーニングするとか。
本当だったらカーペットを張り替えるべきでしょうね。

棚はペンキを塗ってはいけないのでしょうか？

カーペットの水洗いというかシャンプーしました？ Home DepoとかSafewayでマシン貸し出してますので試す価値あるかも！