Walk-in clinicの先生からspecialistを勧められて検査をしてもらっています。ここでは書きませんが、とても良い先生とは思えません。

他の先生に代えてもらうことはできないのでしょうか？

よそのwalk-in-clinicで相談をしに行くというのは許される事ですか？

別のスペシャリストを紹介してもらえますよ。ただクリニックのドクター次第なところもありますが。
別の紹介が無理なら別のクリニックに行けばいいだけの話なので、その旨伝えに行きましょう。