入居して3日、両足に赤いくて痒い湿疹？できました。
最低4ヶ月は住むという約束で約束して文書で残してあるのですが、
正直ベッドバグが出る家には住みたくありません。
ベッドバグの患部の写真も一応撮っておきました。

ルームメイトは私のクローゼットの中を見て場所を変えたり
とにかく私の私物を私のいない間に触っています。
それも合わせて嫌です。

こういう場合退去することはできますか？
できることならデポジットも返して欲しいです。

契約内容って正式な書面を解してってわけじゃないですよね。大家も空いている部屋を貸している程度ですか？ベッドバグは家主の責任なので、まずすぐに駆除してもらうようにお願いしましょう。それで駆除したくない、もしくは駆除代を請求されるという場合は、これ以上住むことができないと交渉することはできると思います。