毎回医者に行く度に、握手をするべきなのか？分かりません。主人は毎回始めと、最後にして帰るのですが、私はお辞儀だけで済ませてしまいます。失礼にあたるのでしょうか？
また相手が男性と女性の場合も違いがありますか？

日本人の「ぺこぺこお辞儀」は海外でギャグになってしまっているので海外ではやめていただきたいです。
医者に行く時は初めての先生のときだけ最初に握手して「はじめまして」って感じですね、私の場合。 　

これは相手によりますね。握手をするのが普通になっている人は、人に会ったら手が出てますから、相手が手を出したら、こちらも応えて手を出すというのが私の握手のタイミングです。

自分が男性の場合、相手が女性の場合は、自分の方から握手を求めない（相手が手を出してきたら握手する）ことが多いと聞いたことがあります。