＞＞新しい住居は１日に入居ですよね
　そんなことはありません。全ては各契約によります。１５日のところもあれば中途半端に思える日からもある。それは貸す側があらかじめ決める場合も、入居の相談時にこちら側から提案する事だって出来ます。そして、その決められた入居日から１ヵ月単位となります。
　契約書はかわしているのですよね。サインもしましたよね。その契約書の入居日よりも早く入居可となったということですよね。もしあなたが早く入居したいのであれば日割りでレント料を払う必要があります。でも希望しないのであれば契約書どおりの日程で入居すればいいし、その日からの分のレント料でいいはずです。今の住人が早く出るのはその人の勝手だし、あなたがその差額のようなレント料を払うことはありません。