１２月３１日や１月１日はレストランやお店などは普通に開いているのでしょうか？

中華系は３６５日無休 　

1月1日は祝日ですので、店によっては休みになったりすることもありますが、モールなどは、普通の日曜日・祝日と同じで、開くのが遅かったり閉まるのが早かったりすると思います。12月31日も、閉店が普段より早かったように思います。

北米の1月1日は、日本のような大イベントではありませんので、大抵のお店は普通の祝日スケジュールで開店していると思います。
こちらでは、モールやお店が閉まってしまう祝日は、クリスマス・イースターあたりだけだと思います。