例えば、a sense of dutyを同一文章で使う場合、二回目以降もa sense of duty になるのかthe sense of dutyになるのか混乱しています。どっちが正しいのでしょうか？調べても正解が見つけられませんでした。詳しい方教えてください。

１回目、２回目はあまり関係ありません。
頻度としては、a→theとthe→theのパターンが多いとは思いますが、前後の文脈によって変わるので例文が無いと何とも言えません。

Res1さんのおっしゃるように、文脈によります。

冠詞というのは、それ自体に意味があるので、どの冠詞を選ぶかで文意が変わってきます。

>調べても正解が見つけられませんでした。

一回目に出たら a とか二回目に出たら the とかいうのは、そういう風に冠詞を使う流れの文が確率的に多く、目にする機会が多いだけの話で、そういう決まりがあるわけではありません。なので、そういう調べ方をしても正解など得られません。

どちらを使うかは、その単語が、書かれている文章の中で、a を付ける単語として出てきているのか、the を付ける単語として出てきているかによって変わってきます。

調べるなら、一回目二回目という調べ方ではなく、どんな時に a を使って、どんな時に the を使うかにフォーカスすると答えが得られるかもしれません。