私はdライブラリも契約していないし、クロームキャストも持っていませんが、以下のサイトにこのように記載されていました。
試されましたか?これからされるのであれば、結果を教えてくだされば幸いです。
https://matome.naver.jp/odai/2140151705014282801
「Chromecastをテレビに接続することで、スマホのYouTubeやGoogle Play 映画&テレビなどのアプリで再生中の番組を、画面上部に表示される[キャスト]アイコンから出力先としてChromecastを選択するだけで、テレビに映像を出力できる」
※クロームキャスト単体ではdライブラリは見れないと思います。dライブラリのホームページの「よくあるご質問」で、どのデバイスで視聴できますか?の返答にPC、iPhone、iPad、Androidスマートフォン/タブレットと、しか記載されていないので。つまりスマホから上記方法をすることで視聴できるのではと考えた次第です。