勤務中に怪我をしてしまい、救急エマージェンシーにかかりました。
そのときのレポートで、怪我は仕事場でしたものとし、大きな病院に行ったのですべて
レポートしました。が、二ヶ月後に病院から手紙が来て、費用の請求（金額はそれほど大きくはありません。＄２３０ほどです）
が来ました。すぐにWork BC (WCB)に連絡を入れてレポートしました。
この費用は見送られるかとは思いますが、実際にこの費用をカバーすることになるのは
勤務先のオーナでしょうか？
仕事を辞めているわけではなくまだ行っているのですが、こういう場合は気まずいと思い
自分から辞めるべきなのでしょうか？

お金を払うのはワークBC、会社は保険の掛け金が上がるだけ。
故意に怪我したと言うなら分かりますが、事故で怪我したのなら気まずくなる事はないんじゃないでしょうか？
そこで気まずくなるような職場なら辞めた方がいいでしょうけど。