チエッキングの5000ドルをセービングに移すにはカウンターで何と言えばいいですか？

トランスファーです
ＡＴＭに両方の口座にアクセスできるようにセットすれば後は自分で出来るようになる。

ご親切にありがとうございます！
では、機械で毎月決まった額をセービングに移行する設定も可能でしょうか。
生活費と貯蓄を簡単に分けたいくて。

できます。日付も自由に選べます。

オンラインバンキングにしたら？
どこの銀行のサイトでも簡単にできるようになってる。

上の人に賛成。オンラインバンキングが一番簡単です。
銀行やプランによるかもしれませんが、窓口やATMのトランザクションにはその都度手数料がかかる可能性が高いと思います。通常オンラインバンキングであれば自分の口座間のやりとりは無料です。

銀行によって違うのかもしれませんが、オンライン専用セービングアカウントにした方が利率がいいです。