英語圏の方のあだ名で呼ぶタイミングって？？
すごく仲良くなってから？

たいてい最初からじゃないですか？周りがみんなそう呼んでたり、Call me XXとか言われたら。ま、相手との関係性にもよりますが。
あと、例えばJillianと呼んでJillと呼び方を変えるのは（私の場合は）自分がちょっと距離が近くなったな、と思ったら自然と（たいてい短い）名前の呼び方になってたりします。あまり考え込むようなことではないと思いますよ。

こっち来てから初対面でニンジャ、ゴジラと呼ばれる率が非常に高いから
最初からあだ名で行ってもいいんじゃない？

Res1さん ありがとうございます！
気楽に考えます〜

Re2さん 1度ピカチュウと言われたことがあります。やめてもらうように言いました。笑

名前を短縮した呼び方じゃないあだ名って、からかっているような馬鹿にされているようなあだ名しか思いつかないんですが。
それこそ、ピカチュウみたいな。
学生さんなのかな？

学校とか職場とか大きなグループだと、イジメに敏感ですからあまりしないと思いますけど。
私は呼ばれたことないけど、もしあだ名をつけられてるとしたら、ベントーボックスとか呼ばれると思うし、嫌だ。