飛行機のチケットの切り取り線を切り離してしまいました。

こういった場合はチェックインのときに申し出ればいいのでしょうか？

その際、英語ではなんと言えばいいのでしょうか？

問題ないですよ。そのままもと通りになるようにセロテープでとめてしまってください。
どうせチェックインの際には切り取ってしまうのですから
そう頑丈に貼らなくてもいいですよ。